Понятие производной

Пусть функция f (x ) определена на некотором промежутке X. Придадим значению аргумента в точке x 0 Х произволь­ное приращение Δx так, чтобы точка x 0 + Δx также принад­лежала X. Тогда соответствующее приращение функции f(x) составит Δу = f (x 0 + Δx ) - f (x 0 ).

Определение 1. Производной функции f(x) в точке x 0 назы­вается предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при Δx 0 (если этот предел сущест­вует).

Для обозначения производной функции употребимы симво­лы у" (x 0 ) или f "(x 0 ):

Если в некоторой точке x 0 предел (4.1) бесконечен:

то говорят, что в точке x 0 функция f (x ) имеет бесконечную производную.

Если функция f (x ) имеет производную в каждой точке мно­жества X, то производная f"(x) также является функцией от аргумента х, определенной на X.

Геометрический смысл производной

Для выяснения геометрического смысла производной нам понадобится определение касательной к графику функции в данной точке.

Определение 2. Касательной к графику функции у = f (x ) в точке М называется предельное положение секущей MN, ког­да точка N стремится к точке М по кривой f (x ).

Пусть точка М на кривой f (x ) соответствует значению ар­гумента x 0 , а точка N - значению аргумента x 0 + Δx (рис. 4.1). Из определения касательной следует, что для ее существования в точке x 0 необходимо, чтобы существовал предел , который равен углу наклона касательной к оси Оx . Из треугольника MNA следует, что

Если производная функции f (x ) в точке x 0 существует, то, согласно (4.1), получаем

Отсюда следует наглядный вывод о том, что производная f "(x 0 ) равна угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона к положительному направлению оси Ох) касательной кграфику функции у = f (x ) в точке М (x 0 , f (x 0 )). При этомуголнаклона касательной определяется из формулы (4.2):

Физический смысл производной

Предположим, что функция l = f (t ) описывает закон дви­жения материальной точки по прямой как зависимость пути l от времени t. Тогда разность Δl = f(t + Δt) - f(t) - это путь, пройденный за интервал времени Δt , а отношение Δl /Δt - средняя скорость за время Δt . Тогда предел определяет мгновенную скорость точки в момент вре­мени t как производную пути по времени.

В определенном смысле производную функции у = f(x) можно также трактовать как скорость изменения функции: чем больше величина f "(x ), тем больше угол наклона касательной к кривой, тем круче график f (x ) и быстрее растет функция.

Правая и левая производные

По аналогии с понятиями односторонних пределов функ­ции вводятся понятия правой и левой производных функции в точке.

Определение 3. Правой (левой) производной функции у = f(x) в точке x 0 называется правый (левый) предел отноше­ния (4.1) при Δx 0, если этот предел существует.

Для обозначения односторонних производных используется следующая символика:

Если функция f (x ) имеет в точке x 0 производную, то она имеет левую и правую производные в этой точке, которые сов­падают.

Приведем пример функции, у которой существуют одно­сторонние производные в точке, не равные друг другу. Это f (x ) = |x |. Действительно, в точке х = 0 имеем f’ + (0) = 1, f" - (0) = -1 (рис. 4.2) и f’ + (0) ≠ f’ - (0), т.е. функция не имеет производной при х = 0.

Операцию нахождения производной функции называют ее дифференцированием; функция, имеющая производную в точ­ке, называется дифференцируемой.

Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке устанавливает следующая теорема.

ТЕОРЕМА 1. Если функция дифференцируема в точке x 0 , то она и непрерывна в этой точке.

Обратное утверждение неверно: функция f (x ), непрерыв­ная в точке, может не иметь производную в этой точке. Таким примером является функция у = |x |; она непрерывна в точке x = 0, но не имеет производной в этой точке.

Таким образом, требование дифференцируемости функции является более сильным, чем требование непрерывности, по­скольку из первого автоматически вытекает второе.

Уравнение касательной к графику функции в данной точке

Как было указано в разделе 3.9, уравнение прямой, про­ходящей через точку М (x 0 , у 0 ) с угловым коэффициентом k имеет вид

Пусть задана функция у = f (x ). Тогда посколькуее произ­водная в некоторой точке М (x 0 , у 0 ) является угловым коэффи­циентом касательной к графику этой функции в точке М, то отсюда следует, что уравнение касательной к графику функ­ции f (x ) в этой точке имеет вид

Производная функции одной переменной.

Введение.

Настоящие методические разработки предназначены для студентов факультета промышленное и гражданское строительство. Они составлены применительно к программе курса математики по разделу «Дифференциальное исчисление функций одного переменного».

Разработки представляют собой единое методическое руководство, включающее в себя: краткие теоретические сведения; «типовые» задачи и упражнения с подробными решениями и пояснениями к этим решениям; варианты контрольной работы.

В конце каждого параграфа дополнительные упражнения. Такая структура разработок делает их пригодными для самостоятельного овладения разделом при самой минимальной помощи со стороны преподавателя.

§1. Определение производной.

Механический и геометрический смысл

производной.

Понятие производной является одним из самых важных понятий математического анализа.Оно возникло еще в 17 веке. Формирование понятия производной исторически связано с двумя задачами: задачей о скорости переменного движения и задачей о касательной к кривой.

Эти задачи, несмотря на их различное содержание, приводят к одной и той же математической операции, которую нужно провести над функцией.Эта операция получила в математике специальное название. Она называется операцией дифференцирования функции. Результат операции дифференцирования называется производной.

Итак, производной функцииy=f(x) в точкеx0 называется предел (если он существует) отношения приращения функции к приращению аргумента
при
.

Производную принято обозначать так:
.

Таким образом, по определению

Для обозначения производной употребляются также символы
.

Механический смысл производной.

Если s=s(t) – закон прямолинейного движения материальной точки, то
есть скорость этой точки в момент времениt.

Геометрический смысл производной.

Если функция y=f(x) имеет производную в точке, то угловой коэффициент касательной к графику функции в точке
равен
.

Пример.

Найдите производную функции
в точке=2:

1) Дадим точке =2 приращение
. Заметим, что.

2) Найдем приращение функции в точке =2:

3) Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:

Найдем предел отношения при
:

.

Таким образом,
.

§ 2. Производные от некоторых

простейших функций.

Студенту необходимо научиться вычислять производные конкретных функций: y=x,y=и вообщеy=.

Найдем производную функции у=х.

т.е. (x)′=1.

Найдем производную функции

Производная

Пусть
тогда

Легко заметить закономерность в выражениях производных от степенной функции
приn=1,2,3.

Следовательно,

. (1)

Эта формула справедлива для любых действительных n.

В частности, используя формулу (1), имеем:

;

.

Пример.

Найдите производную функции

.

.

Данная функция является частным случаем функции вида

при
.

Используя формулу (1), имеем

.

Производные функций y=sin x и y=cos x.

Пусть y=sinx.

Разделим на ∆x, получим

Переходя к пределу при ∆x→0, имеем

Пусть y=cosx .

Переходя к пределу при ∆x→0, получим

;
. (2)

§3. Основные правила дифференцирования.

Рассмотрим правила дифференцирования.

Теорема 1 . Если функцииu=u(x) иv=v(x) дифференцируемы в данной точкеx,то в этой точке дифференцируема и их сумма, причем производная суммы равна сумме производных слагаемых: (u+v)"=u"+v".(3)

Доказательство: рассмотрим функцию y=f(x)=u(x)+v(x).

Приращению ∆x аргумента x соответствуют приращения ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) функций u и v. Тогда функция y получит приращение

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Следовательно,

Итак, (u+v)"=u"+v".

Теорема 2. Если функцииu=u(x) иv=v(x) дифференцируемы в данной точкеx, то в той же точке дифференцируемо и их произведение.При этом производная произведения находится по следующей формуле: (uv)"=u"v+uv". (4)

Доказательство: Пусть y=uv, где u и v – некоторые дифференцируемые функции от x. Дадим x приращение ∆x;тогда u получит приращение ∆u, v получит приращение ∆v и y получит приращение ∆y.

Имеем y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), или

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Следовательно, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Отсюда

Переходя к пределу при ∆x→0 и учитывая, чтоuиvне зависят от ∆x, будем иметь

Теорема 3 . Производная частного двух функций равна дроби, знаменатель которой равен квадрату делителя, а числитель- разности между произведением производной делимого на делитель и произведением делимого на производную делителя, т.е.

Если
то
(5)

Теорема 4. Производная постоянной равна нулю, т.е. если y=C, где С=const, то y"=0.

Теорема 5. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е. если y=Cu(x), где С=const, то y"=Cu"(x).

Пример 1.

Найдите производную функции

.

Данная функция имеет вид
, гдеu=x,v=cosx. Применяя правило дифференцирования (4), находим

.

Пример 2.

Найдите производную функции

.

Применим формулу (5).

Здесь
;
.

Задачи.

Найдите производные следующих функций:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

Производная функции - одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная.

В этой статье просто и понятно рассказано о том, что такое производная и для чего она нужна . Мы не будем сейчас стремиться к математической строгости изложения. Самое главное - понять смысл.

Запомним определение:

Производная - это скорость изменения функции.

На рисунке - графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?

Ответ очевиден - третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.

Вот другой пример.

Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:

На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная , - разная. Что касается Матвея - у его дохода производная вообще отрицательна.

Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?

На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами - насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной - то есть может меняться быстрее или медленнее.

Производная функции обозначается .

Покажем, как найти с помощью графика.

Нарисован график некоторой функции . Возьмем на нем точку с абсциссой . Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого - тангенс угла наклона касательной .

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

Обратите внимание - в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси .

Иногда учащиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности.

Найдем . Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника :

Мы нашли производную с помощью графика, даже не зная формулу функции. Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ по математике под номером .

Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением

Величина в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой . Она равна тангенсу угла наклона прямой к оси .

.

Мы получаем, что

Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.

Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.

Нарисуем график некоторой функции . Пусть на одних участках эта функция возрастает, на других - убывает, причем с разной скоростью. И пусть у этой функции будут точки максимума и минимума.

В точке функция возрастает. Касательная к графику, проведенная в точке , образует острый угол с положительным направлением оси . Значит, в точке производная положительна.

В точке наша функция убывает. Касательная в этой точке образует тупой угол с положительным направлением оси . Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке производная отрицательна.

Вот что получается:

Если функция возрастает, ее производная положительна.

Если убывает, ее производная отрицательна.

А что же будет в точках максимума и минимума? Мы видим, что в точках (точка максимума) и (точка минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.

Точка - точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке с «плюса» на «минус».

В точке - точке минимума - производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».

Вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует.

Если производная положительна, то функция возрастает.

Если производная отрицательная, то функция убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Запишем эти выводы в виде таблицы:

	возрастает	точка максимума	убывает	точка минимума	возрастает
+	0	-	0	+

Сделаем два небольших уточнения. Одно из них понадобится вам при решении задач ЕГЭ. Другое - на первом курсе, при более серьезном изучении функций и производных.

Возможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет. Это так называемая :

В точке касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки функция возрастала - и после точки продолжает возрастать. Знак производной не меняется - она как была положительной, так и осталась.

Бывает и так, что в точке максимума или минимума производная не существует. На графике это соответствует резкому излому, когда касательную в данной точке провести невозможно.

А как найти производную, если функция задана не графиком, а формулой? В этом случае применяется

Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции в точке называется предел, если он существует,

Общепринятые обозначения производной функции в точке

Таблица производных

Геометрический смысл производной функции в точке.

Рассмотрим секущую АВ графика функции y=f(x) такую, что точки А и В имеют соответственно координаты и , где - приращение аргумента. Обозначим через приращение функции. Отметим все на чертеже:

Из прямоугольного треугольника АВС имеем . Так как по определению касательная – это предельное положение секущей, то .

Вспомним определение производной функции в точке: производной функции y=f(x) в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при , обозначается .

Следовательно, , где - угловой коэффициент касательной.

Таким образом, существование производной функции y=f(x) в точке эквивалентно существованию касательной к графику функции y=f(x) в точке касания , причем угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке , то есть .

Заключаем: геометрический смысл производной функции в точке состоит в существовании касательной к графику функции в этой точке.

20 Дифференцируемость функции в точке. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.

Приращение дифференцируемой в данной точке функции можно представить как линейную функцию приращения аргумента с точностью до величин более высокого порядка малости. Это означает, что для достаточно малых окрестностей данной точки функцию можно заменить линейной (скорость изменения функции можно считать неизменной). Линейная часть приращения функции называется ее дифференциалом (в данной точке).

Необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости является непрерывность функции. В случае функции от одной вещественной переменной дифференцируемость равносильна существованию производной. В случае функции нескольких вещественных переменных необходимым (но не достаточным) условием дифференцируемости является существование частных производных по всем переменным. Для дифференцируемости функции нескольких переменных в точке достаточно, чтобы частные производные существовали в некоторой окрестности рассматриваемой точки и были непрерывны в данной точке.

21 Дифференцируемость функции в точке. Теорема о непрерывности дифференцируемой функции.

Теорема.

Если функция в данной точке дифференцируема, то в этой точке функция непрерывна.

Доказательство.

Пусть функция y=f(x)y=f(x) дифференцируема в точке x0x0, тода приращение этой функии равно Δy=A⋅Δx+α(Δx)⋅xΔy=A⋅Δx+α(Δx)⋅x.

При стремлении приращения аргумента функции ΔxΔx к нулю приращение функции ΔyΔyтакже стремится к нулю, а это и означает непрерывность функции.

То есть в итоге мы получили, что функция y=f(x)y=f(x), дифференцируемая в точке x0x0, является в этой точке и непрерывной функцией. Что и требовалось доказать.

Таким образом непрырывность функции в данной точке является необходимым, но недостаточным условием для дифференцируемости функции.

Пример.

Функция y=|x|y=|x| в точке x0x0 является непрерывной функцией, но в этой точке функция не дифференцируема.

Действительно, приращение функии равно:

Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=|Δx|Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=|Δx|.

При этом получаем:

ΔyΔx=|Δx|Δx={1,Δx>0,−1,Δx<0ΔyΔx=|Δx|Δx={1,Δx>0,−1,Δx<0.

Предел limΔx→0ΔyΔxlimΔx→0ΔyΔx не существует, а значите функцкия y=|x|y=|x|, непрерывная в точке x0x0, не дифференцируема в этой точке.

22 Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала.

Дифференциалом функции в некоторой точке x называется главная, линейная часть приращения функции.

Дифференциал функции y = f (x ) равен произведению её производной на приращение независимой переменной x (аргумента).

Это записывается так:

Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал функции y = f (x ) равен приращению ординаты касательной S, проведённой к графику этой функции в точке M(x ; y ), при изменении x (аргумента) на величину (см. рисунок)..

23 Правило дифференцируемости суммы и произведения.

Для доказательства второго правила дифференцирования воспользуемся определением производной и свойством предела непрерывной функции.

Подобным образом можно доказать, что производная суммы (разности) n функций равна сумме (разности) n производных

Докажем правило дифференцирования произведения двух функций .

Запишем предел отношения приращения произведения функций к приращению аргумента. Будем учитывать, что и (приращение функции стремиться к нулю при приращении аргумента, стремящемся к нулю).

Что и требовалось доказать.

24 Инвариантность формы 1 дифференциала.

Инвариантность формы первого дифференциала

Если x - независимая переменная, то dx = x - x 0 (фиксированное приращение). В этом случае имеем

df (x 0) = f" (x 0)dx . (3)

Если x = φ (t ) - дифференцируемая функция, то dx = φ" (t 0)dt . Следовательно,

т. е. первый дифференциал обладает свойством инвариантности относительно замены аргумента.

25 Теорема Ролля.

Теорема Ро́лля (теорема о нуле производной ) утверждает, что

Доказательство

Если функция на отрезке постоянна, то утверждение очевидно, поскольку производная функции равна нулю в любой точке интервала.

Если же нет, поскольку значения функции в граничных точках сегмента равны, то согласно теореме Вейерштрасса, она принимает своё наибольшее или наименьшее значение в некоторой точке интервала, то есть имеет в этой точке локальный экстремум, и по Лемме Ферма, в этой точке производная равна 0.

Геометрический смысл

Теорема утверждает, что если ординаты обоих концов гладкой кривой равны, то на кривой найдется точка, в которой касательная к кривой параллельна оси абсцисс.

26 Теорема Лагранжа и ее следствия.

Формула конечных приращений или теорема Лагра́нжа о среднем значении утверждает, что если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема в интервале , то найдётся такая точка , что

.

Геометрически это можно переформулировать так: на отрезке найдётся точка, в которой касательнаяпараллельна хорде, проходящей через точки графика, соответствующие концам отрезка.

Механическое истолкование : Пусть - расстояние точки в момент от начального положения. Тогда есть путь, пройденный с момента до момента , отношение - средняя скорость за этот промежуток. Значит, если скорость тела определена в любой момент времени , то в некоторый момент она будет равна своему среднему значению на этом участке.

Доказательство

Для функции одной переменной:

Введем функцию . Для нее выполнены условия теоремы Ролля: на концах отрезка ее значения равны нулю. Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка , в которой производная функции равна нулю:

что и требовалось доказать.

Следствия и обобщения

Теорема Лагранжа о конечных приращениях - одна из самых важных, узловая теорема во всей системе дифференциального исчисления. Она имеет массу приложений в вычислительной математике, и главнейшие теоремы математического анализа также являются её следствиями.

Следствие 1. Дифференцируемая на отрезке функция с производной, равной нулю, есть константа.

Доказательство. Для любых и существует точка , такая что .

Значит, при всех и верно равенство .

Следствие 2 (Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа). Если функция дифференцируема раз в окрестности точки , то для малых (т.е. тех, для которых отрезок лежит в указанной окрестности) справедлива формула Тейлора:

где - некоторое число из интервала .

Следствие 3. Если функция переменных дважды дифференцируема в окрестности точки О и все её вторые смешанные производные непрерывны в точке О, тогда в этой точке справедливо равенство:

Доказательство для . Зафиксируем значения и и рассмотрим разностные операторы

По теореме Лагранжа существуют числа , такие что

при в силу непрерывности вторых производных функции .

Аналогично доказывается, что .

Но так как , (что проверяется непосредственно), то эти пределы совпадают.

Следствие 4 (Формула Ньютона-Лейбница). Если функция дифференцируема на отрезке и её производная интегрируема по Риману на этом отрезке, то справедлива формула: .

Доказательство. Пусть - произвольное разбиение отрезка . Применяя теорему Лагранжа, на каждом из отрезков найдём точку такую, что .

Суммируя эти равенства, получим:

Слева стоит интегральная сумма Римана для интеграла и заданного отмеченного разбиения. Переходя к пределу по диаметру разбиения, получим формулу Ньютона-Лейбница.

Следствие 5 (Теорема об оценке конечных приращений). Пусть отображение непрерывно дифференцируемо в выпуклой компактной области пространства . Тогда .

27 Теорема Каши.

Теорема Коши́ о среднем значении .

Пусть даны две функции и такие, что: 1. и определены и непрерывны на отрезке ; 2. производные и конечны на интервале ; 3. производные и не обращаются в нуль одновременно на интервале 4. ; тогда существует , для которой верно: . (Если убрать условие 4, то необходимо, например, усилить условие 3: g"(x) не должна обращаться в ноль нигде в интервале .)

Геометрически это можно переформулировать так: если и задают закон движения на плоскости (то есть определяют абсциссу и ординату через параметр ), то на любом отрезке такой кривой, заданном параметрами и , найдётся касательный вектор, коллинеарный вектору перемещения от до .

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная - одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x) , заданная в некотором интервале (a, b) . Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0 . Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t . Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того - это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило - если можете упростить выражение, обязательно упрощайте .

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

← Вернуться